ВПР по математике 8 класс 2020-2021 Вариант 5 с решениями

ВПР по математике за 8 класс 2020-2021 года А.Р. Рязановский, Д.Г. Мухин — Вариант 5

При написании данной работы «ВПР по математике 8 класс 2020-2021 Вариант 5» было использовано пособие «Всероссийская Проверочная Работа. Математика. 8 класс. Практикум. ФГОС. А.Р. Рязановский, Д.Г. Мухин. 2020-2021 год (20 вариантов)«.

Часть 1

В заданиях 1-9 дайте ответ в виде целого числа, десятичной дроби или последовательности цифр.

Найдите значение выражения (x^-4)⁴ : x^-17, если x = 10

Показать решение

Решение:

Вспомним, что при возведении степень в степень — степени умножаются. А при умножении одинаковых оснований степени складываются.

(x^-4)⁴ : x^-17 = x^{-4 ·}⁴ : x^-17 = x ^-16 : x^-17 =x^-16-(-17) = x¹ = x = 10

Ответ:

Найдите значение выражения:

$2\sqrt{100} + \sqrt{12} * \sqrt{3}$

Показать решение

Решение:

$2\sqrt{100} + \sqrt{12} * \sqrt{3} = 2 * 10 + \sqrt{12 * 3} = 20 + \sqrt{36} = 20 + 6 = 26$

Ответ:

3.1 Найдите сумму корней уравнения x² — 7x — 8 = 0

Показать решение

Решение:

Для решения данного уравнения воспользуемся Теоремой Виета:

ax² + bx + c = 0; D≥ 0; x₁ + x₂ = -b/a

значит,

x² — 7x — 8 = 0

здесь a = 1, b = -7

Искомая сумма корней уравнения равна:

x₁ + x₂ = -b/a = -(-7) : 1= 7

Ответ:

3.2 Найдите наибольший корень уравнения x⁴ — 3x³ — 10x² = 0

Показать решение

Решение:

Для решения данного вынесем х² за скобки:

x² * (x² — 3x — 10) = 0

x² — 3x — 10 = 0 или x² = 0 x = 0 — один из возможных корней уравнения

Теперь найдем чему равен дискриминант (Дискриминант D квадратного трёхчлена ax² + bx + c равен b² — 4ac.)

x² — 3x — 10 = 0

здесь a = 1, b = -3, c = -10

D = b² — 4ac = (-3)² — 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49

мы помним, что общая формула для нахождения корней квадратного уравнения

$x_1_,_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 * 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2 * 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Наибольшим корнем из полученных является х₁ = 5

Ответ:

х₁ = 5

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С проведена средняя линия MN, параллельная гипотенузе AB. Найдите длину MN, если AC = √15 , BC = 7

Показать решение

Решение:

Дано:

AC = √15 , BC = 7

Так как треугольник ABC — прямоугольный, мы воспользуемся теоремой Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы AB.

В прямоугольном треугольнике, длины катетов которого равны a и b , а длина гипотенузы — c, выполняется условие: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = c^2$

$MN^2 + NB^2 = MB^2$

Отсюда найдем MN

$AB^2 = BC^2 + AC^2 = 7^2 + (\sqrt{15})^2 = 49 + 15 = 64$

$AB = \sqrt{64} = 8$

Длина гипотенузы AB = 8

Свойство средней линии: Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия равна половине основания, параллельно которой она проведена.

MN = 1/2 * AB = 1/2 * 8 = 4

Ответ:

Выберите верные утверждения:
1. Угол между равными хордами окружности радиуса 1 равен 90°
2. Если углы при меньшем основании трапеции равны, то она равнобокая.
3. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
4. Если в двух треугольниках ABC и ACD угол ABC равен углу ACD; угол ACB равен углу ADC, сторона AC общая, то треугольники ABC и ACD равны.

Показать решение

Решение:

Неверно.
Верно. В равнобедренной (равнобокой) трапеции углы при основаниях попарно равны.
Верно. Основное свойство: Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника
Неверно. Это утверждение было бы правильным, если углы ABC = ADC и BCA = ACD

Ответ:

2, 3

6.1 Тося записала случайное двузначное число меньше 50. Найдите вероятность того, что это число больше 25.

Показать решение

Решение:

По условию задачи Тося загадала двузначное число меньше 50.

Двузначное — значит числа от 0 до 9 не считаем. Так как меньше 50, значит считаем от 49 и меньше.

Получаем диапазон цифр от 10 до 49. Всего двузначных цифр в данном диапазоне — 40.

Второе условие — это число больше 25. То есть числа от 26 до 49. Всего двузначных цифр в данном диапазоне — 24.

Теперь найдем вероятность того, что это число больше 25.

24 : 40 = 0,6

Ответ:

0,6

6.2 В высотном доме 3 лифта. Для каждого лифта вероятность того, что он находится на первом этаже, равна 0,5. Найдите вероятность того, что ровно два лифта находится на первом этаже.

Показать решение

Решение:

Определение: Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу

P(A) = m/n

Давайте посчитаем с вами все возможные события, которые могут произойти с 3 лифтами:

— — —
— — +
— + —
+ — —
— + +
+ — +
+ + —
+ + +

Где (+-) — это наличие или отсутсвие лифта на первом этаже

В нашем случае существует всего 8 всех равновозможных несовместных элементарных исходов.

Случаев, когда два из трёх лифтов находятся на первом этаже = 3.

Получаем:

P(A) = m/n = 3/8 = 0,375

Ответ:

0,375

У бабушки на даче несколько банок объёмом 2 л и 5 л. Каким может быть объём ведёрка, которое бабушка может наполнить до краёв без переполнения ведёрка, налив 9 полных банок?
1. 21 л
2. 34 л
3. 46 л
4. 50 л

Показать решение

Решение:

Минимальный возможный объём ведёрка:

2 * 9 = 18 (л)

Максимально возможный объём ведёрка:

5 * 9 = 45 (л)

В полученных пределах лежит несколько возможных вариантов — 1 и 2, т.е. 21 и 34 литра.

Давайте решим данную задачу с помощью системы уравнений.

Пусть х — количество банок по 2 литра

Пусть у — количество банок по 5 литров

По условию задачи имеем:

х + у = 9 — т.е. всего использовано банок

Тогда будет справедливым уравнение:

2x + 5y = 21 , где 21 — это первый вариант решения из двух возможных

Мы получили с вами систему уравнений

{х + у = 9
{2x + 5y = 21

Найдем из первого уравнения х

x + y = 9
x = 9 — y

Подставим результат во второе уравнение

2x + 5y = 21
2 (9 — y) + 5y = 21
18 — 2y + 5y = 21
18 + 3y = 21
3y = 21 — 18 = 3
y = 3 / 3 = 1

x = 9 — y
x = 9 — 1 = 8

Проверяем:

2 * 8 + 5 * 1 = 16 + 5 = 21

Правильный ответ — 1

Для наполнения 21 литрового ведёрка, бабушке понадобится 8 2-х литровых и 1 5-ти литровая банок.

Ответ:

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ:

VPR-mat-8-klass-2018-Ryazanovskiy-5-variant-02

ФОРМУЛЫ:

y = -10/x
y = 10/х
y = -1/10х

Запишите в ответ выбранные цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А	Б	В

Показать решение

Решение:

Для удобства, воспользуйтесь инструментом построения графиков онлайн на нашем сайте

y = -10/x — уравнение гиперболы, при положительных x, y — будет отрицательным; при отрицательном x, y — будет положительным (график лежит в 2 и 4 четверти)
y = 10/х — уравнение гиперболы, при положительных x, y — будет положительным; при отрицательном x, y — будет отрицательным (график лежит в 1 и 3 четверти)
y = -1/10х — уравнение гиперболы, при положительных x, y — будет отрицательным; при отрицательном x, y — будет положительным (график лежит в 2 и 4 четверти)

Даже без вычислений можно сказать, что

y = 10/х — соответсвует графику В, поскольку это единственный график гиперболы, лежащий в 1 и 3 четверти

Что же касается двух других формул, то здесь требуется выполнить несколько контрольных вычислений:

Функция y = -10/x

x1 = -5, x2 = -2, x3 = 2, x4 = 5

y1 = 2, y2 = 5, y3 = -5, y4 = -2

Сравним с графиком контрольные значения, получим соответствие с графиком В

Функция y = -1/10х

x1 = -5, x2 = -2, x3 = 2, x4 = 5

y1 = 1/50, y2 = 1/20, y3 = -1/20, y4 = -1/50

Сравним с графиком контрольные значения, получим соответствие с графиком А

Ответ:

А	Б	В
3	2	1

Анатолий подошёл к расписанию автобусов в 8:51 в посёлке Городище. Ему нужно доехать до станции Лыжное. Сколько минут ему придётся ждать до отправления первого автобуса, который останавливается на станции Лыжное?

VPR-mat-8-klass-2018-Ryazanovskiy-1-variant-03

Показать решение

Решение:

Так как Анатолий подошёл в 8:51, то необходимо смотреть только те автобусы, которые отправляются после 8:51.

Первый автобус отправляется в 9:00 и идет до конечной станции Островский — эта ветка проходит через станцию Лыжное и автобус делает на ней остановку.

9:00 — 8:51 = 0:09 (мин) — придётся ждать до отправления

Ответ:

9 минут

Часть 2

В начале года число абонентов телефонной компании «Юг» составляло 300 тыс. человек, а в конце года их стало 345 тыс. человек. На сколько процентов увеличилось за год число абонентов этой компании?

Показать решение

Решение:

300 тыс — примем за 100%

300 000 : 100 = 3 000 — количество человек, которое составляет 1% абонентов

345 000 — 300 000 = 45 000 — на сколько человек увеличилось число абонентов компании

45 000 : 3 000 = 15 (%) — на сколько процентов увеличилось за год число абонентов этой компании

Ответ:

Расположите числа в порядке возрастания: √51; √(7,2)²; 3√7 ; 2√15; 7,7. Обоснуйте ответ.

Показать решение

Решение:

Преобразуем √(7,2)² в другом виде:

√(7,2)² = √51,84

Представим 3√7 в другом виде 3 = √9, тогда:

√9 * √7 = √9 * 7 = √63

Теперь представим 2√15 в другом виде: 2 = √2, тогда:

√4 * √15 = √4 * 15 = √60

Преобразуем 7,7 в другом виде:

7,7 = √(7,7)² = √59,29

Теперь можем расставить все числа по порядку:

√51 < √51,84 (√(7,2)² ) < √59,29 (7,7) < √60 (2√15) < √63 (3√7)

Всё просто без особых вычислений.

Ответ:

√51 < √(7,2)² < 7,7 < 2√15 < 3√7

12.1 В треугольнике ABC на сторонах AB и AC выбраны точки M и N так, что BM:MA=CN:NA=1:2. Оказалось, что отрезок MN содержит центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите BC, если AB=6; AC=3

Показать решение

Решение:

в процессе…

Если у вас есть решение, будем рады, если вы им с нами поделитесь

Ответ:

4,5

12.2 В треугольнике ABC проведены биссектрисы углов A и B. Из вершины С к этим биссектрисам проведены перпендикуляры CP и CQ. Найдите PQ, если AB=3, BC=6, AC=7.

Показать решение

Решение:

Построим согласно условию треугольник ABC.

Отсюда и по условию задачи имеем:

AB = a = 3
BC = b = 6
AC = c = 7

в процессе…

Если у вас есть решение, будем рады, если вы им с нами поделитесь

Ответ:

Моторная лодка прошла по течению реки 60 км и вернулась обратно, затратив на путь туда и обратно 10 часов, двигаясь без остановок и с постоянной скоростью относительно воды. Найдите скорость катера, если скорость течения реки равна 2,5 км/час.

Показать решение

Решение:

Пусть х — это постоянная скорость лодки, тогда

(х + 2,5) — это скорость лодки по течению, а

(х — 2,5) — скорость лодки против течения

Чтобы найти время, которая лодка потратила на путь в 60 км по течению, надо это расстояние разделить на скорость лодки по течению, получим

$t_1 = \frac{60}{x + 2,5}$

Чтобы найти время, которая лодка потратила на путь в 60 км против течения, надо это расстояние разделить на скорость лодки против течения, получим

$t_2 = \frac{60}{x - 2,5}$

Из условия задачи известно, что лодка затратила на путь туда и обратно 10 часов

$t_1 + t_2 = 10$

или

$\frac{60}{x + 2,5} + \frac{60}{x - 2,5} = 10$

$\frac{60 * (x - 2,5)}{(x + 2,5) * (x - 2,5)} + \frac{60 * (x + 2,5)}{(x - 2,5) * (x + 2,5)} = 10$

$\frac{60 * (x - 2,5) + 60 * (x + 2,5)}{(x + 2,5) * (x - 2,5)} = 10$

$\frac{60 * x - 120,5 + 60 * x + 120,5}{(x + 2,5) * (x - 2,5)} = 10$

$\frac{120 * x}{(x^2 + 2,5x - 2,5x - 6,25)} = 10$

$\frac{120 * x}{(x^2 - 6,25)} = 10$

$120x = 10 * (x^2 - 6,25)$

$120x = 10x^2 - 62,5$

Получаем квадратное уравнение:

$10x^2 - 120x - 62,5 = 0$

Теперь найдем чему равен дискриминант (Дискриминант D квадратного трёхчлена ax² + bx + c равен b² — 4ac.)

10x² — 120x — 62,5 = 0

здесь a = 10, b = -120, c = -62,5

D = b² — 4ac = (-120)² — 4 * 10 * (-62,5) = 14400 + 2500 = 16900

Найдем корни уравнения:

$x_1_,_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-120) + \sqrt{16900}}{2 * 10} = \frac{120 + 130}{20} = \frac{250}{20} = 12,5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-120) - \sqrt{16900}}{2 * 10} = \frac{120 - 130}{20} = \frac{-10}{20} = \frac{-1}{2}$

Так как корень со знаком «минус» не может быть решением нашего уравнения, то рассмотрим в качестве решения первое значение х = 12,5

Найдем значение скоростей по- и против течения

$v_1 = {x + 2,5} = 12,5 + 2,5 = 15$

$v_2 = {x - 2,5} = 12,5 - 2,5 = 10$

Найдем значение времени, затраченное на путь в 60 км по- и против течения

$t_1 = \frac{60}{15} = 4$

$t_2 = \frac{60}{10} = 6$

4 + 6 = 10 (часов)

Итак, собственная скорость катера = 12,5 км/час

Ответ:

12,5 км/час

14.1 При каких значениях параметра a уравнение ax² + x + 1 = 0 имеет ровно один корень? Для каждого значения параметра a укажите соответсвующий корень уравнения.

Показать решение

Решение:

1) Рассмотрим данное уравнение при а = 0

ax² + x + 1 = 0

x + 1 =0
x = -1

(ax² + 2x + 1) = 0
2x + 1 = 0
2x = -1
x = -1/2 = -0,5

При a = 0, x = -0,5

Корни квадратного уравнения зависят от знака дискриминанта (D): уравнение имеет 1 корень (или же 2 совпадающих вещественных корня) при D = 0. Значит,

D = b² — 4ac = 0

b² — 4ac = 0 (из условия имеем квадратное уравнение в котором b=1, c=1)

1² — 4 * a * 1 = 0

1 — 4a = 0

-4a = -1

4a = 1

a = 1/4

a= 0,25

Найдем корень уравнения при a = 0,25

$x_2 = \frac{-b}{2a} = \frac{-1}{2 * 0,25} = \frac{-1}{0,5} = -2$

При a = 0,25, x = -2

Ответ:

при a₁= 0, x = -1

при a₂= 0,25, x = -2

14.2 При каких значениях параметра a уравнение (x — 2) (ax² + 2x + 1) = 0 имеет ровно два корня? Для каждого значения параметра a укажите соответсвующие корени уравнения.

Показать решение

Решение:

(x — 2) (ax² + 2x + 1) = 0

1) Рассмотрим данное уравнение при а = 0

(x — 2) (ax² + 2x + 1) = 0

(x — 2) =0
x — 2 = 0
x = 2

(ax² + 2x + 1) = 0
2x + 1 = 0
2x = -1
x = -1/2 = -0,5

При a = 0, имеем два корня: x = -0,5, x = 2.

2) Рассмотрим данное уравнение при а ≠ 0

Так как первый множитель (первая скобка) в любом случае дает корень x = 2 (первый корень уравнения), то второй множитель (вторая скобка) должен иметь только один корень — это условие задачи — найти те а, при которых уравнение имеет только два корня.

Квадратное уравнение может иметь один корень, только если дискриминант равен D = 0.

(ax² + 2x + 1) = 0

D = b² — 4ac = 0

b² — 4ac = 2² — 4 * a * 1 = 4 — 4a

4 — 4a = 0
-4a = -4
a = -4 / -4 = 1

Найдем второй корень уравнения при a = 1

$x_2 = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2 * 1} = \frac{-2}{2} = -1$

При a = 1, имеем два корня: x = -1, x = 2.

3) квадратное уравнение (ax² + 2x + 1) = 0 имеет 2 корня, один их которых, как мы упоминали выше равен 2:

(ax² + 2x + 1) = 0

(a2² + 2 * 2 + 1) = 0
4a + 4 + 1 = 0
4a + 5 = 0
4a = -5
a = -5 / 4 = -1,25

Найдем второй корень уравнения при a = -1,25

$x_2 = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2 * (-1,25)} = \frac{-2}{-2,5} = 0,8$

При a = -1,25, имеем два корня: x = 0,8, x = 2.

Ответ:

При a = 0, x = -0,5, x = 2.

При a = 1, x = -1, x = 2.

При a = -1,25, x = 0,8, x = 2.