ВПР по математике 8 класс 2020-2021 Вариант 4 с решениями

ВПР по математике за 8 класс 2020-2021 года А.Р. Рязановский, Д.Г. Мухин — Вариант 4

При написании данной работы «ВПР по математике 8 класс 2020-2021 Вариант 4» было использовано пособие «Всероссийская Проверочная Работа. Математика. 8 класс. Практикум. ФГОС. А.Р. Рязановский, Д.Г. Мухин. 2020-2021 год (20 вариантов)«.

Часть 1

В заданиях 1-9 дайте ответ в виде целого числа, десятичной дроби или последовательности цифр.

Найдите значение выражения -(x³)^-6 · 6x¹⁹, если x = -6

Показать решение

Решение:

Вспомним, что при возведении степень в степень — степени умножаются. А при умножении одинаковых оснований степени складываются.

-(x³)^-6 · 6x¹⁹= -x ^3·^(-6) · 6x¹⁹ = -x ^-18 · 6x¹⁹ =-6x^-18+19 = -6x¹ = -6x = -6 · (-6) = 36

Ответ:

Найдите значение выражения:

$5\sqrt{36} - \sqrt{2} * \sqrt{72}$

Показать решение

Решение:

$5\sqrt{36} - \sqrt{2} * \sqrt{72} = 5 * 6 - \sqrt{2 * 72} = 30 - \sqrt{144} = 30 - 12 = 18$

Ответ:

3.1 Найдите сумму корней уравнения x² — 8x + 7 = 0

Показать решение

Решение:

Для решения данного уравнения воспользуемся Теоремой Виета:

ax² + bx + c = 0; D≥ 0; x₁ + x₂ = -b/a

значит,

x² — 8x + 7 = 0

здесь a = 1, b = -8

Искомая сумма корней уравнения равна:

x₁ + x₂ = -b/a = -(-8) : 1= 8

Ответ:

3.2 Найдите наибольший корень уравнения 2x³ — 3x² — 2x = 0

Показать решение

Решение:

Для решения данного вынесем х за скобки:

2x³ — 3x² — 2x = 0

x (2x² — 3x — 2) = 0 или x = 0 — один из возможных корней уравнения

Теперь найдем чему равен дискриминант (Дискриминант D квадратного трёхчлена ax² + bx + c равен b² — 4ac.)

2x² — 3x — 2 = 0

здесь a = 2, b = -3, c = -2

D = b² — 4ac = (-3)² — 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25

мы помним, что общая формула для нахождения корней квадратного уравнения

$x_1_,_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 * 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 * 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -1/2$

Наибольшим корнем из полученных является х = 2

Ответ:

х₁ = 2

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С проведена средняя линия MN, параллельная катету AC. Найдите длину MN, если CB = √17 , AB = 9 (в задачнике опечатка!)

VPR-mat-8-klass-2018-Ryazanovskiy-1-variant-01

Показать решение

Решение:

Дано:

AB = 9

CB = √17

Свойство средней линии: Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. В нашей задаче это стороны АВ и CB.

Из этого следует:

CN = NB = √17 : 2

AM = MB = 9 : 2 = 4,5

Известно, что средняя линия (MN) треугольника параллельна одной из его сторон (АС) и равна половине этой стороны (АС).
Следует, что ΔMNB — прямоугольный, а его катет MN является средней линией ΔАВС.

Нам следует найти катет MN по теореме Пифагора:

В прямоугольном треугольнике, длины катетов которого равны a и b , а длина гипотенузы — c, выполняется условие: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = c^2$

$MN^2 + NB^2 = MB^2$

Отсюда найдем MN

$MN^2 = MB^2 - NB^2 = 4,5^2 - (\sqrt{17} : 2)^2$

$MN = \sqrt{4,5^2 - (\sqrt{17} : 2)^2}$

$MN = \sqrt{20,25 - (17 : 4)}$

$MN = \sqrt{20,25 - 4,25} = \sqrt{16} = 4$

Длина катета MN = 4

Ответ:

Выберите верные утверждения:
1. Угол между диагональю и стороной квадрата равен 45°
2. Если в трапеции два угла равны, то она равнобокая.
3. Если в треугольнике один угол равен 30°, то одна его сторона вдвое больше другой стороны.
4. Если стороны некоторого угла параллельны сторонам другого угла, то эти углы равны между собой или их сумма равна 180°.

Показать решение

Решение:

Верно. Угол в квадрате равен 90°, а диагональ делит его пополам. Таким образом угол между диагональю и стороной квадрата = 45°.
Неверно. Трапеция является равнобокой, если углы при любом основании равны.
Неверно. Данное утверждение уместно только для прямоугольного треугольника.
Верно. Это теорема

Ответ:

1, 4

6.1 В классе 24 учеников, 18 из которых — девочки. Учитель попросил ученика К принести ключ от кабинета. Найди вероятность того, что К — не девочка.

Показать решение

Решение:

Отношение общего количества учеников (24) к количеству девочек (18) составляет вероятность того, что за ключом пойдет девочка:

18 : 24 = 0,75 — вероятность того, что за ключом пойдет девочка

Известно, что сумма всех вероятностей = 1, тогда получим

1 — 0,75 = 0,25 — вероятность того, что за ключом пойдёт не девочка

Ответ:

0,25

6.2 Вероятность попадания по мишени при выстреле из лука равна 0,6. Лучник выстрелил дважды. Какова вероятность того, что он оба раза промахнулся?

Показать решение

Решение:

Известно, что все противоположные события образуют группу событий, сумма вероятностей которых = 1.

Для каждого выстрела существует две вероятности:

Лучник попадет в мишень, и по условию задачи эта вероятность = 0,6
Лучник не попадёт в мишень

Найдем для каждого выстрела вероятность того, лучник не попадет:

Первый выстрел: 1 — 0,6 = 0,4

Второй выстрел: 1 — 0,6 = 0,4

Если брать оба выстрела вместе, то по правилу произведения событий «Лучник промахнется дважды» получим:

0,4 * 0,4 = 0,16 — вероятность того, что лучник не попадёт оба раза

Ответ:

0,16

У дедушки на даче несколько вёдер объёмом 10 л и 12 л. Каким может быть объём бочки, которую дедушка может наполнить до краёв без переполнения бочки, налив 9 полных вёдер?
1. 80 л
2. 100 л
3. 110 л
4. 130 л

Показать решение

Решение:

Минимальный возможный объём бочки:

10 * 9 = 90 (л)

Максимально возможный объём бочки:

12 * 9 = 108 (л)

В полученных пределах лежит единственно возможный вариант — 2, т.е. 100 литров.

Давайте дополнительно узнаем сколько и каких вёдер было использовано для наполнения 100 литровой бочки.

Итак, дед может заполнить 9 вёдрами бочку объёмом 100 литров.

Число 100 имеет на конце 0. По условию задачи мы имеем два ведра объёмом 10 л и 12 л.

Так как для наполнения 9 вёдрами 100-литровой бочки мы не можем обойтись 10-литровым ведром ( 10 * 9 = 90), значит в наполнении обязательно участвовало 12-литровое ведро.

Для начала давайте подберём такое число, при умножении на которое 12 л давало бы на конце 0. Ближайшая от нуля цифра — 5

12 * 5 = 60

Мы истратили 5 из 9 ведер на 12 литровое ведро. Осталось 9 — 5 = 4 для 10 литровых вёдер. Проверим:

10 * 4 = 40

60 + 40 = 100 (л)

Чтобы наполнить 100 литровую бочку деду понадобится 5 12-литровых ведер и 4 10-литровых.

Правильный ответ 2

Ответ:

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ:

VPR-mat-8-klass-2018-Ryazanovskiy-4-variant-02

ФОРМУЛЫ:

y = -x/2
y = √x
y = -2 — x²
y = -1/x

Запишите в ответ выбранные цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А	Б	В

Для удобства, воспользуйтесь инструментом построения графиков онлайн на нашем сайте

Показать решение

Решение:

y = -x/2 — уравнение прямой
y = √x — уравнение прямой
y = -2 — x² — уравнение параболы
y = -1/x — уравнение гиперболы, при положительных x, y — будет тоже отрицательным; при отрицательном x, y — будет тоже положительным (график лежит в 2 и 4 четверти)

Даже без вычислений можно сказать, что

y = -x/2 — соответсвует графику В (уравнение прямой)
y = √x — соответсвует графику А
y = -2 — x² — соответсвует графику Б (уравнение параболы)
y = -1/x — такого графика в задании нет

При необходимости можно сделать несколько контрольных вычислений:

Функция y = -x/2

x1 = -1, x2 = 0, x3 = 1

y1 = 0,5, y2 = 0, y3 = -0,5

Сравним с графиком контрольные значения, получим соответствие с графиком В

Функция y = √x

x1 = 1, x2 = 4, x3 = 9

y1 = 1, y2 = 2, y3 = 3

Сравним с графиком контрольные значения, получим соответствие с графиком А

Функция y = -2 — x²

x1 = -1, x2 = 0, x3 = 1

y1 = -3, y2 = -2, y3 = -3

Сравним с графиком контрольные значения, получим соответствие с графиком Б

Ответ:

А	Б	В
2	3	1

Анатолий подошёл к расписанию автобусов в 7:24 в посёлке Городище. Ему нужно доехать до станции Моськи. Сколько минут ему придётся ждать до отправления первого автобуса, который останавливается на станции Моськи?

VPR-mat-8-klass-2018-Ryazanovskiy-1-variant-03

Показать решение

Решение:

Так как Анатолий подошёл в 7:24, то необходимо смотреть только те автобусы, которые отправляются после 7:24.

Первый автобус отправляется в 7:30 и идет до конечной станции Космодемьянск — эта ветка не проходит через станцию Моськи.

Второй автобус отправляется в 8:00 и идет до конечной станции Островский — эта ветка не проходит через станцию Моськи.

Третий автобус отправляется в 8:23 и идет до конечной станции Топь — эта ветка проходит через станцию Моськи но автобус не делает на ней остановку.

Четвёртый автобус отправляется в 8:45 и идет до конечной станции Глубокое — эта ветка проходит через станцию Моськи и автобус делает на ней остановку.

8:45 — 7:24 = 1:21 (мин) — придётся ждать до отправления

Ответ:

1:21 или 81 минуту

Часть 2

Для фруктового напитка смешивают яблочный и виноградный сок в отношении 13:7. Какой процент в этом напитке составляет виноградный сок?

Показать решение

Решение:

отношение 13:7 означает, что при приготовлении сока берут 13 частей яблочного и 7 частей виноградного сока.

Для начала найдем из скольки частей состоит готовый напиток:

13 + 7 = 20 — всего частей

примем 20 за 100%, тогда

20 / 100 = 0,2 — доля одного процента сока

7 / 0,2 = 35 % — процент виноградного сока в этом напитке

Ответ:

Расположите числа в порядке возрастания: √41; √(6,5)²; 2√11 ; 4√3; 6,6. Обоснуйте ответ.

Показать решение

Решение:

Представим 2√11 в другом виде 2 = √4, тогда:

√4 * √11 = √4 * 11 = √44

Теперь представим 4√3 в другом виде: 4 = √16, тогда:

√16 * √3 = √16 * 3 = √48

Получаем:

√41 < √44 < √48

Преобразуем √(6,5)² в другом виде:

√(6,5)² = √42,25

Преобразуем 6,6 в другом виде:

6,6 = √(6,6)² = √43,56

Теперь можем расставить все числа по порядку:

√41 < √42,25 (√(6,5)² ) < √43,56 (6,6) < √44 (2√11) < √48 (4√3)

Всё просто без особых вычислений.

Ответ:

√41 < √(6,5)² < 6,6 < 2√11 < 4√3

12.1 Биссектриса угла ∠BAD параллелограмма ABCD пересекает прямую BC в точке N, а сторону CD в точке M. Известно, периметр параллелограмма ABCD равен 70 и BN : NC = 5 : 3. Найдите длину отрезка MD.

Показать решение

Решение:

Свойства биссектрисы параллелограмма:

Биссектриса по определению делит угол пополам
Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник
- в данном примере биссектриса угла ∠BAD (AN) отсекает равнобедренный треугольник AMD

Так как противоположные стороны параллелограмма равны BC || AD, то имеем

AB = CD = a

AD = BC = MD = b

Известно, что периметр равен:

P_ABCD = 2a + 2b = 2 (a + b) = 70, отсюда a + b = 70 / 2 = 35

Треугольники ∠ABN и ∠MCN подобны, поскольку: отрезок CM, параллельный стороне AB треугольника (ABN), отсекает от него треугольник, подобный данному.

Определение: Два треугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Учитывая пропорциональность сторон, получаем:

AB / CM = BN / CN = 5 / 3

Из этой формулы найдем чему равен CM

CM = AB : 5/3 = AB * 3/5 = AB * 0,6 = 0,6AB = 0,6a

Треугольники AMD и NMC подобны.

Учитывая пропорциональность сторон, получаем:

DM / CM = AD / CN

где

AD = b
CM = CN = 0,6a
DM = a — 0,6a

Подставляя, получим:

DM / CM = AD / CN

(a — 0,6a) / 0,6a = b / 0,6a

a — 0,6a = b

Получаем систему уравнений

{ a + b = 35
{ a — 0,6a = b

Найдем чему равно b из первого уравнения

a + b = 35

b = 35 — a

Подставим полученный результат во второе уравнение:

a — 0,6a = b

a — 0,6a = 35 — a

2a — 0,6a = 35

1,4a = 35

a = 35 : 1,4 = 25

b = 35 — 25 = 10

Отсюда

CM = 0,6a = 15

CD — CM = MD

MD = a — CM = 25 — 15 = 10

Ответ:

12.2 В треугольнике ABC проведены биссектрисы внешних углов при вершинах A и B. Из вершины С к этим биссектрисам проведены перпендикуляры CP и CQ. Найдите PQ, если AB=3, BC=6, AC=7.

Показать решение

Решение:

Определение: Биссектриса внешнего угла треугольника перпендикулярна биссектрисе смежного с ним внутреннего угла.

Построим согласно условию треугольник ABC.

Отсюда и по условию задачи имеем:

AB = a = 3
BC = b = 6
AC = c = 7

Проведём биссектрису внешнего угла А треугольника ABC и проведем к ней перпендикуляр CP из точки С. В результате мы получаем прямоугольный треугольник ACP.

Проведём биссектрису внешнего угла B треугольника ABC и проведем к ней перпендикуляр CQ из точки С. В результате мы получаем прямоугольный треугольник CBQ.

Продолжая прямые CP и CQ до пересечения с AB, получим точки D и E.

Рассмотрим треугольник ACP. По условию AP перпендикулярна CP. Кроме того ∠CAP = ∠DAP. Значит треугольник DAC равнобедренный.

Аналогичная ситуация состоит с треугольником CBQ. По условию BP перпендикулярна CQ. Кроме того ∠CBQ = ∠QBE. Значит треугольник CBE равнобедренный.

Определение: В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная на основание, является биссектрисой и высотой.

Отрезок AP является медианой треугольника DAC, а значит делит его сторону DC пополам.

В свою очередь отрезок BQ является медианой треугольника CBE, а значит делит его сторону CE пополам.

Исходя из выше сказанного, точки P и Q являются серединами сторон DC и CE, которые в свою очередь являются сторонами треугольника DEC. Отсюда получаем, что PQ — это средняя линия треугольника DEC.

Имеем:

AB = a = 3
BC = BE = b = 6
AC = DA = c = 7

Отсюда

DE = DA + AB + BE = 7 + 3 + 6 = 16

Известно, что средняя линия треугольника равна половине его основания:

PQ = 1/2 * DE = 1/2 * 16 = 8

Ответ:

Два насоса наполняют бассейн за 24 часа, причём за 2 часа первый насос наполняет бассейн на такую его часть, которую второй насос наполняет за 8 часов. За какое число часов один второй насос сможет полностью наполнить бассейн?

Показать решение

Решение:

Введем значения:

x — время заполнения бассейна первым насосом

y — время заполнения бассейна вторым насосом

1 — примем весь объем бассейна

По условию задачи имеем:

1/x + 1/y = 1/24 — объём заполняемый обоими насосами за 1 час

Также в условии говорится, что за 2 часа первый насос наполняет бассейн на такую его часть, которую второй насос наполняет за 8 часов. Получаем равенство

x/2 = y/8

Найдем из этого равенства значение x

x/2 = y/8

x = y/8 * 2 = 2y/8

Подставим полученный результат в первую формулу:

1/x + 1/y = 1/24

1 : 2y/8 + 1/y = 1/24

8/2у + 1/у = 1/24

Приведём к общему знаменателю, умножив числитель и знаменатель второй дроби на 2:

8/2у + 2/2у = 1/24

10/2у = 1/24

2y = 10 : 1/24 = 10 * 24 = 240

y = 240 : 2 = 120

Второй насос самостоятельно наполнит весь бассейн за 120 часов.

Ответ:

120 часов

14.1 При каких значениях параметра b уравнение 8x² — bx + 2 = 0 имеет ровно один корень? Для каждого значения параметра b укажите соответсвующий корень уравнения.

Показать решение

Решение:

Корни квадратного уравнения зависят от знака дискриминанта (D): уравнение имеет 1 корень (или же 2 совпадающих вещественных корня) при D = 0. Значит,

D = b² — 4ac = 0

b² — 4ac = 0 (из условия имеем квадратное уравнение в котором a=8, c=2)

b² — 4 * 8 * 2 = 0

b² — 64 = 0

b² = 64

b = √64 = 8

b₁= 8; b₂= -8

Решим уравнение при b = 8

8x² — bx + 2 = 0

8x² — 8x + 2 = 0

8x² — 8x + 2 = 2 • (4x² — 4x + 1)

4x² — 4x + 1= 0

(2x−1)²=0

2x−1=0

2x = 1

x = 1/2 = 0,5

Для значения параметра b = 8, корень уравнения будет x = 0,5

Решим уравнение при b = -8

8x² — bx + 2 = 0

8x² — (-8)x + 2 = 0

8x² + 8x + 2 = 2 • (4x² + 4x + 1)

4x² + 4x + 1= 0

(2x + 1)²=0

2x + 1=0

2x = -1

x = -1/2 = -0,5

Для значения параметра b = -8, корень уравнения будет x = -0,5

Ответ:

при b₁= 8, x = 0,5

при b₂= -8, x = -0,5

14.2 При каких значениях параметра a уравнение x³ + 2ax² + 9x = 0 имеет ровно два корня? Для каждого значения параметра a укажите соответсвующие корени уравнения.

Показать решение

Решение:

x³ + 2ax² + 9x = 0

x * (x² + 2ax + 9) = 0

x² + 2ax + 9 = 0

В процессе решения. Если у вас есть готовое решение, мы его с радостью опубликуем.

Ответ:

При a = -2, x = 2, x = 0,5.

При a = 1, x = -1, x = 2.

При a = -1, x = 1, x = 2.

При a = -1/2, x = 2, x = 1/2.

При a = 0, x = 0, x = 2.