ВПР по математике 8 класс 2020-2021 Вариант 4

Решение:

Вспомним, что при возведении степень в степень — степени умножаются. А при умножении одинаковых оснований степени складываются.

-(x³)^-6 · 6x¹⁹ = -x ^3·(-6) · 6x¹⁹ = -x ^-18 · 6x¹⁹ =-6x^-18+19 = -6x¹ = -6x = -6 · (-6) = 36

Ответ:

36

Решение:

\[

5\sqrt{36} — \sqrt{2} * \sqrt{72} = 5 * 6 — \sqrt{2 * 72} = 30 — \sqrt{144} = 30 — 12 = 18

\]

Ответ:

18

Решение:

Для решения данного уравнения воспользуемся Теоремой Виета:

ax² + bx + c = 0;   D≥ 0;   x₁ + x₂ = -b/a  

значит,

x² — 8x + 7 = 0

здесь a = 1, b = -8

Искомая сумма корней уравнения равна:

x₁ + x₂ = -b/a = -(-8) : 1= 8

Ответ:

8

Решение:

Для решения данного вынесем х за скобки:

2x³ — 3x² — 2x = 0

x (2x² — 3x — 2) = 0   или x = 0 — один из возможных корней уравнения

Теперь найдем чему равен дискриминант (Дискриминант D квадратного трёхчлена ax² + bx + c равен b² — 4ac.)

2x² — 3x — 2 = 0

здесь a = 2, b = -3, c = -2

D = b² — 4ac = (-3)² — 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25

мы помним, что общая формула для нахождения корней квадратного уравнения

\[

x_1_,_2 = \frac{-b \pm  \sqrt{D}}{2a}

\]

\[

x_1 = \frac{-b +  \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) +  \sqrt{25}}{2 * 2} =  \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2

\]

\[

x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) —  \sqrt{25}}{2 * 2} =  \frac{3 — 5}{4} = \frac{-2}{4} = -1/2

\]

Наибольшим корнем из полученных является х = 2

Ответ:

х₁ = 2

Решение:

Дано:

AB = 9

CB = √17

Свойство средней линии: Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. В нашей задаче это стороны АВ и CB.

Из этого следует:

CN = NB = √17 : 2

AM = MB = 9 : 2 = 4,5

Известно, что средняя линия (MN) треугольника параллельна одной из его сторон (АС) и равна половине этой стороны (АС).
Следует, что ΔMNB — прямоугольный, а его катет MN является средней линией ΔАВС.

Нам следует найти катет MN по теореме Пифагора:

В прямоугольном треугольнике, длины катетов которого равны a  и b , а длина гипотенузы — c, выполняется условие: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

\[

a^2 + b^2 = c^2

\]

\[

MN^2 + NB^2 = MB^2

\]

Отсюда найдем MN

\[

MN^2 = MB^2 — NB^2 = 4,5^2 — (\sqrt{17} : 2)^2

\]

\[

MN = \sqrt{4,5^2 — (\sqrt{17} : 2)^2}

\]

\[

MN = \sqrt{20,25 — (17 : 4)}

\]

\[

MN = \sqrt{20,25 — 4,25} =  \sqrt{16} = 4

\]

Длина катета MN = 4

Ответ:

4

Решение:

1. Верно. Угол в квадрате равен 90°, а диагональ делит его пополам. Таким образом угол между диагональю и стороной квадрата = 45°.
2. Неверно. Трапеция является равнобокой, если углы при любом основании равны.
3. Неверно. Данное утверждение уместно только для прямоугольного треугольника.
4. Верно. Это теорема

Ответ:

1, 4

Решение:

Отношение общего количества учеников (24) к количеству девочек (18) составляет вероятность того, что за ключом пойдет девочка:

18 : 24 = 0,75 — вероятность того, что за ключом пойдет девочка

Известно, что сумма всех вероятностей = 1, тогда получим

1 — 0,75 = 0,25 — вероятность того, что за ключом пойдёт не девочка

Ответ:

0,25

Решение:

Известно, что все противоположные события образуют группу событий, сумма вероятностей которых = 1.

Для каждого выстрела существует две вероятности:

• Лучник попадет в мишень, и по условию задачи эта вероятность = 0,6
• Лучник не попадёт в мишень

Найдем для каждого выстрела вероятность того, лучник не попадет:

Первый выстрел: 1 — 0,6 = 0,4

Второй выстрел: 1 — 0,6 = 0,4

Если брать оба выстрела вместе, то по правилу произведения событий «Лучник промахнется дважды» получим:

0,4 * 0,4 = 0,16 — вероятность того, что лучник не попадёт оба раза

Ответ:

0,16

Решение:

Минимальный возможный объём бочки:

10 * 9 = 90 (л)

Максимально возможный объём бочки:

12 * 9 = 108 (л)

В полученных пределах лежит единственно возможный вариант — 2, т.е. 100 литров.

Давайте дополнительно узнаем сколько и каких вёдер было использовано для наполнения 100 литровой бочки.

Итак, дед может заполнить 9 вёдрами бочку объёмом 100 литров.

Число 100 имеет на конце 0. По условию задачи мы имеем два ведра объёмом 10 л и 12 л.

Так как для наполнения 9 вёдрами 100-литровой бочки мы не можем обойтись 10-литровым ведром ( 10 * 9 = 90), значит в наполнении обязательно участвовало 12-литровое ведро.

Для начала давайте подберём такое число, при умножении на которое 12 л давало бы на конце 0. Ближайшая от нуля цифра — 5

12 * 5 = 60

Мы истратили 5 из 9 ведер на 12 литровое ведро. Осталось 9 — 5 = 4 для 10 литровых вёдер. Проверим:

10 * 4 = 40

60 + 40 = 100 (л)

Чтобы наполнить 100 литровую бочку деду понадобится 5 12-литровых ведер и 4 10-литровых.

Правильный ответ 2

Ответ:

2

Решение:

1. y = -x/2 — уравнение прямой
2. y = √x — уравнение прямой
3. y = -2 — x²  — уравнение параболы
4. y = -1/x — уравнение гиперболы, при положительных x, y — будет тоже отрицательным; при отрицательном x, y — будет тоже положительным (график лежит в 2 и 4 четверти)

Даже без вычислений можно сказать, что

• y = -x/2 — соответсвует графику В (уравнение прямой)
• y = √x — соответсвует графику А
• y = -2 — x² — соответсвует графику Б (уравнение параболы)
• y = -1/x — такого графика в задании нет

При необходимости можно сделать несколько контрольных вычислений:

Функция y = -x/2

x1 = -1,  x2 = 0, x3 = 1

y1 = 0,5, y2 = 0, y3 = -0,5

Сравним с графиком контрольные значения, получим соответствие с графиком В

Функция y = √x

x1 = 1,  x2 = 4, x3 = 9

y1 = 1, y2 = 2, y3 = 3

Сравним с графиком контрольные значения, получим соответствие с графиком А

Функция y = -2 — x²

x1 = -1, x2 = 0, x3 = 1

y1 = -3, y2 = -2, y3 = -3

Сравним с графиком контрольные значения, получим соответствие с графиком Б

Ответ:

Решение:

Так как Анатолий подошёл в 7:24, то необходимо смотреть только те автобусы, которые отправляются после 7:24.

Первый автобус отправляется в 7:30 и идет до конечной станции Космодемьянск — эта ветка не проходит через станцию Моськи.

Второй автобус отправляется в 8:00 и идет до конечной станции Островский — эта ветка не проходит через станцию Моськи.

Третий автобус отправляется в 8:23 и идет до конечной станции Топь — эта ветка проходит через станцию Моськи но автобус не делает на ней остановку.

Четвёртый автобус отправляется в 8:45 и идет до конечной станции Глубокое — эта ветка проходит через станцию Моськи и автобус делает на ней остановку.

8:45 — 7:24 = 1:21 (мин) — придётся ждать до отправления

Ответ:

1:21 или 81 минуту

Решение:

отношение 13:7 означает, что при приготовлении сока берут 13 частей яблочного и 7 частей виноградного сока.

Для начала найдем из скольки частей состоит готовый напиток:

13 + 7 = 20 — всего частей

примем 20 за 100%, тогда

20 / 100 = 0,2 — доля одного процента сока

7 / 0,2 = 35 % — процент виноградного сока в этом напитке

Ответ:

35

Решение:

Представим 2√11 в другом виде 2 = √4, тогда:

√4 * √11 = √4 * 11 = √44

Теперь представим 4√3 в другом виде: 4 = √16, тогда:

√16 * √3 = √16 * 3 = √48

Получаем:

√41 < √44 < √48

Преобразуем √(6,5)² в другом виде:

√(6,5)² = √42,25

Преобразуем 6,6 в другом виде:

6,6 = √(6,6)² = √43,56

Теперь можем расставить все числа по порядку:

√41 < √42,25 (√(6,5)² ) <  √43,56 (6,6) < √44 (2√11) <  √48 (4√3)

Всё просто без особых вычислений.

Ответ:

√41 < √(6,5)² < 6,6 < 2√11 < 4√3

Решение:

Свойства биссектрисы параллелограмма:

• Биссектриса по определению делит угол пополам
• Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник
  • в данном примере биссектриса угла ∠BAD (AN) отсекает равнобедренный треугольник AMD

Так как противоположные стороны параллелограмма равны BC || AD, то имеем

AB = CD = a

AD = BC = MD = b

Известно, что периметр равен:

P_ABCD = 2a + 2b = 2 (a + b) = 70, отсюда a + b = 70 / 2 = 35

Треугольники ∠ABN и ∠MCN подобны, поскольку: отрезок CM, параллельный стороне AB треугольника (ABN), отсекает от него треугольник, подобный данному.

Определение: Два треугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Учитывая пропорциональность сторон, получаем:

AB / CM = BN / CN = 5 / 3

Из этой формулы найдем чему равен CM

CM = AB : 5/3 = AB * 3/5 = AB * 0,6 = 0,6AB = 0,6a

Треугольники AMD и NMC подобны.

Учитывая пропорциональность сторон, получаем:

DM / CM = AD / CN

где

• AD = b
• CM = CN = 0,6a
• DM = a — 0,6a

Подставляя, получим:

DM / CM = AD / CN

(a — 0,6a) / 0,6a = b / 0,6a

a — 0,6a = b

Получаем систему уравнений

{ a + b = 35
{ a — 0,6a = b

Найдем чему равно b из первого уравнения

a + b = 35

b = 35 — a

Подставим полученный результат во второе уравнение:

a — 0,6a = b

a — 0,6a = 35 — a

2a — 0,6a = 35

1,4a = 35

a = 35 : 1,4 = 25

b = 35 — 25 = 10

Отсюда

CM = 0,6a = 15

CD — CM = MD

MD = a — CM = 25 — 15 = 10

Ответ:

10

Решение:

Определение: Биссектриса внешнего угла треугольника перпендикулярна биссектрисе смежного с ним внутреннего угла.

Построим согласно условию треугольник ABC.

Отсюда и по условию задачи имеем:

AB = a = 3
BC = b = 6
AC = c = 7

Проведём биссектрису внешнего угла А треугольника ABC и проведем к ней перпендикуляр CP из точки С. В результате мы получаем прямоугольный треугольник ACP.

Проведём биссектрису внешнего угла B треугольника ABC и проведем к ней перпендикуляр CQ из точки С. В результате мы получаем прямоугольный треугольник CBQ.

Продолжая прямые CP и CQ до пересечения с AB, получим точки D и E.

Рассмотрим треугольник ACP. По условию AP перпендикулярна CP. Кроме того ∠CAP = ∠DAP. Значит треугольник DAC равнобедренный.

Аналогичная ситуация состоит с треугольником CBQ. По условию BP перпендикулярна CQ. Кроме того ∠CBQ = ∠QBE. Значит треугольник CBE равнобедренный.

Определение: В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная на основание, является биссектрисой и высотой.

Отрезок AP является медианой треугольника DAC, а значит делит его сторону DC пополам.

В свою очередь отрезок BQ является медианой треугольника CBE, а значит делит его сторону CE пополам.

Исходя из выше сказанного, точки P и Q являются серединами сторон DC и CE, которые в свою очередь являются сторонами треугольника DEC. Отсюда получаем, что PQ — это средняя линия треугольника DEC.

Имеем:

AB = a = 3
BC = BE = b = 6
AC = DA = c = 7

Отсюда

DE = DA + AB + BE = 7 + 3 + 6 = 16

Известно, что средняя линия треугольника равна половине его основания:

PQ = 1/2 * DE = 1/2 * 16 = 8

Ответ:

8

Решение:

Введем значения:

x — время заполнения бассейна первым насосом

y — время заполнения бассейна вторым насосом

1 — примем весь объем бассейна

По условию задачи имеем:

1/x + 1/y = 1/24 — объём заполняемый обоими насосами за 1 час

Также в условии говорится, что за 2 часа первый насос наполняет бассейн на такую его часть, которую второй насос наполняет за 8 часов. Получаем равенство

x/2 = y/8

Найдем из этого равенства значение x

x/2 = y/8

x = y/8 * 2 = 2y/8

Подставим полученный результат в первую формулу:

1/x + 1/y = 1/24

1 : 2y/8 + 1/y = 1/24

8/2у + 1/у = 1/24

Приведём к общему знаменателю, умножив числитель и знаменатель второй дроби на 2:

8/2у + 2/2у = 1/24

10/2у = 1/24

2y = 10 : 1/24 = 10 * 24 = 240

y = 240 : 2 = 120

Второй насос самостоятельно наполнит весь бассейн за 120 часов.

Ответ:

120 часов

Решение:

Корни квадратного уравнения зависят от знака дискриминанта (D): уравнение имеет 1 корень (или же 2 совпадающих вещественных корня) при D = 0. Значит,

D = b² — 4ac = 0

b² — 4ac = 0 (из условия имеем квадратное уравнение в котором a=8, c=2)

b² — 4 * 8 * 2 = 0

b² — 64 = 0

b² = 64

b = √64 = 8

b₁ = 8; b₂ = -8

1. Решим уравнение при b = 8

8x² — bx + 2 = 0

8x² — 8x + 2 = 0

8x² — 8x + 2  =   2 • (4x² — 4x + 1)

4x² — 4x + 1= 0

(2x−1)²=0

2x−1=0

2x = 1

x = 1/2 = 0,5

Для значения параметра b = 8, корень уравнения будет x = 0,5

2. Решим уравнение при b = -8

8x² — bx + 2 = 0

8x² — (-8)x + 2 = 0

8x² + 8x + 2  =   2 • (4x² + 4x + 1)

4x² + 4x + 1= 0

(2x + 1)²=0

2x + 1=0

2x = -1

x = -1/2 = -0,5

Для значения параметра b = -8, корень уравнения будет x = -0,5

Ответ:

при b₁ = 8, x = 0,5

при b₂ = -8, x = -0,5

Решение:

x³ + 2ax² + 9x = 0

x * (x² + 2ax + 9) = 0

x² + 2ax + 9 = 0

В процессе решения. Если у вас есть готовое решение, мы его с радостью опубликуем.

Ответ:

При a = -2, x = 2, x = 0,5.

При a = 1, x = -1, x = 2.

При a = -1, x = 1, x = 2.

При a = -1/2, x = 2, x = 1/2.

При a = 0, x = 0, x = 2.