Согласно орфографической норме русского языка изучаемое слово пишется, как в первом варианте:
шьёшь
Почему мы пишем мягкий знак?
Чтобы разобраться, сделаем морфемный разбор слова “шьёшь”:
Как мы видим, мягкий знак входит в состав корня.
Вспомним, что разделительный твёрдый знак ставится между приставкой и корнем.
Например:
съел,
где “с-” – приставка, а “-ел-” – корень и твёрдый знак стоит между ними.
В нашем случае в слове “шьёшь” приставки нет, а значит пишется мягкий знак.